des

F. 12 sous-divisions mixtes, qui sont des et combinés.

12 34 789, 12 456 58, 123 34 56 123 456 50 123 34 789, 12 456 789

(Fig. 79).

Voilà donc épuisées toutes les combinaisons à double trait sans subdivision ultérieure. Le triple trait, inséré sous le second, nous ouvrirait une série de combinaisons beaucoup plus étendue. Sans entrer ici dans cette énumération trop longue,

me bornerai à mettre le lecteur sur la voie de la faire lui-même, en lui marquant les limites de ce travail, et les points de repos qui le lui faciliteront.

L'insertion d'un troisième trait sous le second peut avoir lieu dans la division binaire aux classes A, B, C, ou dans la division ternaire aux classes D, E, F, ci-dessus dénombrées. En outre, il peut opérer, aux diverses places où on le pose, une sous-division, soit binaire, soit ternaire, soit mixte. Ainsi,

Inséré dans la classe A, il offrirait

21 sous-divisions binaires, qui seraient des . 24 sous-divisions ternaires qui seraient des ( de ).

54 sous-divisions mixtes, qui seraient des et

des combinés.

12

Inséré dans la classe B, il offrirait

77 sous-divisions binaires, qui seraient des (de de).

Inséré dans la classe C, il offrirait

62 sous-divisions binaires, qui seraient des ou des (de de 1).

62 sous-divisions ternaires, qui seraient des ( de ) et des ÷ ( de ) (1).

18

12

360 sous-divisions mixtes, qui seraient des de deux espèces, et combinés.

Par où l'on voit que le troisième trait inséré dans la division binaire seulement y engendre un nombre total de 1360 coupes du temps. Mais si l'on voulait exclure de ces coupes celles qui passent les, alors elles se réduiraient à 315, comme il est aisé de le voir.

Si l'on porte le troisième trait aux trois classes D, E, F, de la division ternaire, on aura,

En l'insérant dans la classe D:

117 sous-divisions binaires, qui seront des

de 4).

12

117 sous-divisions ternaires, qui seront des (de 1 de 1).

12

758 sous-divisions mixtes, qui seront des et combinés.

En l'insérant dans la classe E:

(1) Parmi ces 62 sous-divisions ternaires, il y en a 6 qui ne passent pas les et parmi les 360, il y en a 74 qui sont dans le même cas.

721 sous-divisions binaires, qui seront des (

de 4.)

18

724 sous-divisions ternaires, qui seront des 20,502 sous-divisions mixtes, qui seront des ( et combinés.

En l'insérant dans la classe F:

1

18

(1) 1,332 sous-divisions binaires, qui seront des ( de ) et ( de ).

18

1,332 sous-divisions ternaires qui seront des (de de ) et combinés.

18

25,026 sous-divisions mixtes, qui seront des

et combinés.

27

Ainsi, le troisième trait engendre dans la di vision ternaire un total de 50,626 coupes de temps, entre lesquelles il s'en trouve 189 qui ne passent pas les ; et si l'on réunit ensemble les; toutes les coupes à simple, double ou triple trait, qui ne passent pas les, on en obtient 540, dont 2 sont à trait simple, 34 à trait double, et 504 à triple trait.

Lors donc que je disais ci-dessus qu'on n'est jamais sûr d'avoir lu toutes les divisions praticables du temps, on voit que j'adoucissais l'expression, et que j'aurais dû dire au contraire qu'on est sûr de ne les avoir jamais toutes lues. Sur quoi l'on fera cette réflexion décourageante, qu'il est pourtant nécessaire d'avoir promené sa pensée et sa voix, et plus d'une fois encore, sur ces milliers de

(1) Parmi ces 1332 sous-divisions binaires, il y en a 72 qui ne passent pas les

coupes, sans quoi l'on y serait arrêté faute de pratique.... Mais, non, cela n'est pas indispensable, et je vais démontrer qu'il est des considérations à faire, qui en peuvent dispenser et qui rejetteront toute la pratique sur les trentesix premières coupes seulement qui ne passent pas le double trait. Je vois que le lecteur me saura gré de cette énorme réduction, après le souci qu'a dû lui causer le dénombrement à milliers qu'il vient de lire.

Considérons d'abord qu'il y a une autre manière d'engendrer les coupes à triple trait, au antérieures à double et à simmoyen des coupes ple trait, auxquelles on adjoindrait une coupe (qui n'en est pas une) formée d'un temps entier sans division, et qui s'écrit sans trait, comme 1. Ce n'est, comme on voit, que l'expression du temps originaire sur lequel ont été pratiquées les divisions et subdivisions continuelles par 2 et par 3. Comme le moyen dont je veux parler est général, je vais l'appliquer d'abord à la génération des coupes à double trait.

Or, quelle que soit l'une de ces coupes que l'on examine, on la trouve nécessairement formée de deux ou de trois groupes à simple trait (ou dont l'un au moins est à simple trait), rassemblés sous un trait supérieur; car, d'après les principes qui ont été exposés précédemment, ce sont toujours deux ou trois groupes, ou sons individuels, que l'on aperçoit d'abord sous le grand trait. Quand ce sont des sons individuels, il n'y a pas de traits secondaires, et la division n'est

alors que primitive et à simple trait; mais quand ce sont des goupes de sons, ces groupes sont annoncés à l'oeil par des traits secondaires qui en lient les divers sons, comme à une même souche d'où ils furent extraits.

Il faut conclure de là qu'on formerait facilement toutes les coupes du second ordre, en prenant deux par deux, ou trois par trois, de toutes les manières possibles les trois coupes simples 1, 12, 123 (fig. 80) (que je désignerai pour un moment par a, b, c) et en recouvrant d'un grand trait ces divers assemblages, sans en exclure la répétition nécessaire de la même lettre.

On formera donc toutes les combinaisons binaires en écrivant chaque lettre à son tour à la suite de chacune de trois lettres a, b > c, се qui donnera d'abord ces neuf combinaisons.

aa,

ba, ca

ab, bb, cb

ac bc,

сс

Comme toutes ces combinaisons, excepté la première, contiennent déjà un simple trait, il est clair qu'en les recouvrant chacune d'un trait supérieur, on aura fait des combinaisons à double trait, et qu'elles seront au nombre de 8 (nombre qui résulte de 3 f. 3, diminué de 1 f. 1). Ce qui est conforme à ce que nous savions d'a

vance.

Pour former les combinaisons ternaires, il ne faut qu'écrire à la suite des neuf précédentes,