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Je prends maintenant le premier de ces deux temps ainsi divisé, et j'en soumets les parties, au moyen d'un second trait, à une nouvelle division qui peut être binaire, ou ternaire, ou mixte, et qui peut avoir lieu soit sur les deux moitiés à la fois ou sur l'une d'elles seulement. Cela fait en tout sept combinaisons que voici: A. 3 sous-divisions binaires, qui sont des .

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B. 3 sous-divisions ternaires, qui sont des tiers de moitié).

123 456, 123 4, 1456

C. 2 sous-divisions mixtes, qui sont des et descombinés.

12 456, 123 34 (1).

Quoique le chiffre 3 paraisse deux fois dans cette dernière coupe, on ne peut pourtant pas se méprendre à sa signification: en effet, paraissant dans la première moitié du temps, au des sixièmes, il indique le troisième sixième

rang

(1) C'est ainsi qu'il faut entendre les passages improprement appelés cinquièmes, qu'on rencontre quelquefois mal écrits de cette manière

du temps, qui est dans cette moitié ; mais paraissant dans la seconde moitié du temps, au rang des quarts, il y indique le troisième quart du temps, lequel est bien dans cette seconde moitié.

J'insère à présent le second trait dans la division ternaire primitive, comme je viens de l'insérer dans la division binaire. Or, je peux le mettre aux trois places à la fois, ou à deux de ces places, ou seulement à une; en outre, je peux lui faire exprimer la moitié ou le tiers de la place où je le pose. Cela fait en tout vingt-six combinaisons que voici classées et numérotées :

D. 7 sous-divisions binaires, qui sont des (demi-tiers).

123456|1 34 56, 123 56, 12345 1235, 1345, 13 56

E. 7 sous-divisions ternaires, qui sont des . 123456789 1 456 789 9 123 4 789 9 123 456 7 | 123 479 1 45679 1 4789 F. 12 sous-divisions mixtes, qui sont des et des combinés.

1 34 789, 1 456 56, 12 3 789, 123 456, 12 456 7, 123 34 5,

12 34 789 12 456 569 123 34 56| 123 456 56, 123 34 7899 12 456 7891

Voilà donc épuisées toutes les combinaisons

:

double trait sans subdivision ultérieure. Le triple trait, inséré sous le second, nous ouvrirait une série de combinaisons beaucoup plus étendue. Sans entrer ici dans cette énumération trop longue, je me bornerai à mettre le lecteur sur la voie de la faire lui-même, en lui marquant les limites de ce travail, et les points de repos qui le lui faciliteront.

L'insertion d'un troisième trait sous le second peut avoir lieu dans la division binaire aux classes A, B, C, ou dans la division ternaire aux classes D, E, F, ci-dessus dénombrées. En outre, il peut opérer, aux diverses places où on le pose, une sous-division, soit binaire, soit ternaire, soit mixte. Ainsi,

Inséré dans la classe A, il offrirait

21 sous-divisions binaires, qui seraient des . 21 sous-divisions ternaires, qui seraient des

( de ).

54 sous-divisions mixtes, qui seraient des et des combinés.

Inséré dans la classe B, il offrirait

77 sous-divisions binaires, qui seraient des÷ ( ¦ de ¦¦ de ¦).

-77 sous-divisions ternaires, qui seraient des ÷ (de).

626 sous-divisions mixtes, qui seraient des

I

et combinés.

18

Inséré dans la classe C, il offrirait

62 sous-divisions binaires, qui seraient des ou des (de de).

I

12

144

62 sous-divisions ternaires, qui seraient des (de) et des (de) (1).

18

12

360 sous-divisions mixtes, qui seraient des de deux espèces, et combinés.

18

Par où l'on voit que le troisième trait inséré dans la division binaire seulement y engendre un nombre total de 1360 coupes du temps. Mais si l'on voulait exclure de ces coupes celles qui passent les, alors elles se réduiraient à 315, comme il est aisé de le voir.

Si l'on porte le troisième trait aux trois classes D, E, F de la division ternaire, on aura, En l'insérant dans la classe D:

I

117 sous-divisions binaires, qui seront des (

de.)

12

117 sous-divisions ternaires, qui seront des (de de).

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(1) Parmi ces 62 sous-divisions ternaires, il y en a 6 qui ne passent pas les ; et parmi les 360, il y en

I 2

a 74 qui sont dans le même cas.

758 sous-divisions mixtes, qui seront des et

combinés.

En l'insérant dans la classe E:

12

721 sous-divisions binaires, qui seront des (= de)

721 sous-divisions ternaires, qui seront des 20,502 sous-divisions mixtes, qui seront des ( et combinés. 27

En l'insérant dans la classe F:

(1) 1,332 sous-divisions binaires, qui seront des (de) et de ¦ ).

12

I

18

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Ainsi, le troisième trait engendre dans la division ternaire un total de 50,626 coupes du temps, entre lesquelles il s'en trouve 189 qui ne passent pas les ; et si l'on réunit ensemble toutes les coupes. à simple, double ou triple trait, qui ne passent pas les, on en obtient 540, dont 2 sont à trait simple, 34 à trait double, et 504 à triple trait.

(1) Parmi ces 1332 sous-divisions binaires, il y en a 72 qui ne passent pas les

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