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Je prends maintenant le premier de ces deux temps ainsi divisé, et j'en soumets les parties, au moyen d'un second trait, à une nouvelle division qui peut être binaire j ou ternaire j ou mixtej et qui peut avoir lieu soit sur les deux moitiés à la fois ou sur l'une d'elles seulement. Cela fait en tout sept combinaisons que voici:

A. 3 sous-divisions binaires, qui sont des 7.

12 34, 12 3, 1 34

B. 3 sous-divisions ternaires, qui sont des * (tiers de moitié).

123 45s» i23 4» 1 456

C. 2 sous-divisions mixtes, qui sont des 5 et des | combinés.

71 456, 71? 34 (1).

Quoique le cniffre 3 paraisse deux fois dans cette dernière coupe , on ne peut pourtant pas se méprendre à sa signification: en effet, paraissant dans la première moitié du temps, au rang des sixièmes, il indique le troisième sixième

(1) C'est ainsi qu'il faut entendre les passages improprement appelés cinquièmesj qu'on rencontre quelquefois mal écrits de cette manière

du temps, qui est dans cette moitié; mais paraissant dans la seconde moitié du temps, au rang des quarts, il y indique le troisième quart du temps, lequel est bien dans cette seconde moitié.

J'insère à présent le second trait dans la division ternaire primitive, comme je viens de l'insérer dans la division binaire. Or, je peux le mettre aux trois places à la fois, ou à deux de ces places, ou seulement à une; en outre , je peux lui faire exprimer la moitié' ou le tiers de la place où je le pose. Cela fait en tout vingt-six combinaisons que voici classées et numérotées:

D. 7 sous-divisions binaires, qui sont des | (demi-tiers).

ÎÏ34 56 | 1 34 56, 12 3 56, T2 34 5 ! îa 3 5, 1 34 5, 1 3 56 [

E. 7 sous-divisions ternaires, qui sont des f.

«3 4S*5 789 | 1 456 789 , 123 4789 , 1*3 4567 l '»3 47 , ' 4567» < 4789 l

F. 12 sous-divisions mixtes, qui sont des i et des £ combinés.

134789, 1 45656 , 723789, 123 4 56, 124567, 123 34 5 , 7»74 789, il 4i6 lé) 34 5*1 '*3 4!« I*? '»3 34 789> 11 4Ϋ 789]

Voilà donc épuisées toutes les combinaisons ii dtmble traît sans subdivision ultérieure. Le triple trait, inséré sous le second, nous ouvrirait une série de combinaisons beaucoup plus étendue. Sans entrer ici dans cette énumération trop longue, je me bornerai à mettre le lecteur sur la voie de la faire lui-même, en lui marquant les limites de ce travail, et les points de repos qui le lui faciliteront.

L'insertion d'un troisième trait sous le second peut avoir lieu dans la division binaire aux classes A, B, C, ou dans la division ternaire aux classes D, E, F, ci-dessus dénombrées. En outre, il peut opérer, aux diverses places où on le pose, une sous-division, soit binaire, soit ternaire, soit mixte. Ainsi,

Inséré dans la classe A, il offrirait 21 sous-divisions binaires, qui seraient des \. 21 sous-divisions ternaires, qui seraient des ~ (t de*).

54 sous-divisions mixtes, qui seraient des \ et des combinés. Inséré dans la classe B, il offrirait 77 sous-divisions binaires, qui seraient des ~ (S de k de

-77 sous-divisions ternaires, qui seraient des ~j

626 sous-divisions mixtes, qui seraient des et — combinés.

1 8

Inséré dans la classe C, il offrirait 62 sous-divisions binaires, qui seraient des ~ ou

des £ Ci de ~ ^ i). 62 sous-divisions ternaires, qui seraient des ~

(idei)etdesTV(idei)(i).

36o sous-divisions mixtes, qui seraient des ^ de deux espèces, {et^ combinés.

Par où l'on voit que le troisième trait inséré dans la division binaire seulement y engendre un nombre total de i36o coupes du temps. Mais si l'on voulait exclure de ces coupes celles qui passent les^, alors elles.seréduiraient à 3i5, comme il est aisé de le voir.

Si l'on porte le troisième trait aux trois classes D, E, F de la division ternaire, on aura ,

En l'insérant dans la classe D: 117 sous-divisions binaires, qui seront des ~ de I-)

117 sous-divisions ternaires, qui seront des ~

(1) Parmi ces 62 sous-divisions ternaires, il y en a 6 qui ne passent pas les et parmi les 36o, il y en

^58 sous-divisions mixtes, qui seront des ^ et ^ combinés.

En l'insérant dans la classe E:

721 sous-divisions binaires, qui seront des (

721 sous-divisions ternaires, qui seront des

2o,5o2 sous-divisions mixtes, qui seront des et ~ combinés.

En l'insérant dans la classe F:

(1) i,332 sous-divisions binaires, qui seront des

TîGdO^Gdei).

i,332 sous - divisions ternaires, qui seront des ^ (f de ~ de f ) et ^ combinés.

35,o26 sous-divisions mixtes, qui seront des —, et ~ combinés.

18 a 7

Ainsi, le troisième trait engendre dans la division ternaire un total de 5o,626 coupes du temps, entre lesquelles il s'en trouve 189 qui ne passent pas les ^; et si l'on réunit ensemble toutes les coupes. à simple, double ou triple trait, qui ne passent pas les ^, on en obtient 54o, dont 2 sont à trait simple, 34 à trait double, et 5o4 à triple trait.

(1) Parmi ces i332 sous-divisions binaires, il y en a 72 qui ne passent pas les ~.

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