Lors donc que je disais ci-dessus qu'on n'est jamais sûr d'avoir lu toutes les divisions praticables du temps, on voit que j'adoucissais l'expression, et que j'aurais dû dire au contraire qu'on est sûr de ne les avoir jamais toutes lues. Sur quoi l'on fera cette réflexion décourageante, qu'il est pourtant nécessaire d'avoir promené sa pensée et sa voix, et plus d'une fois encore, sur ces milliers de coupes, sans quoi l'on y serait arrêté faute de pratique....... Mais, non, cela n'est pas indispensable, et je vais démontrer qu'il est des considérations à faire, qui en peuvent dispenser et qui rejeteront toute la pratique sur les trente-six premières coupes seulement qui ne passent pas le double trait. Je vois que le lecteur me saura gré de cette énorme réduction, après le souci qu'a dû lui causer le dénombrement à milliers qu'il vient de lire.

Considérons d'abord qu'il y a une autre manière d'engendrer les coupes à triple trait, au moyen des coupes antérieures à double et à simple trait, auxquelles on adjoindrait une coupe (qui n'en est pas une) formée d'un temps entier sans division, et qui s'écrit sans trait, comme 1. Ce n'est, comme on voit, que l'expression du temps originaire sur lequel ont été pratiquées les divisions et subdivisions conti

nuelles par 2 et par 3. Comme le moyen dont je veux parler est général, je vais l'appliquer d'abord à la génération des coupes à double trait.

Or, quelle que soit l'une de ces coupes que l'on examine, on la trouve nécessairement formée de deux ou de trois groupes à simple trait (ou dont l'un au moins est à simple trait), rassemblés sous un trait supérieur; car, d'après les principes qui ont été exposés précédemment, ce sont toujours deux ou trois groupes, ou sons individuels, que l'on aperçoit d'abord sous le grand trait. Quand ce sont des sons individuels, il n'y a pas de traits secondaires, et la division n'est alors que primitive et à simple trait; mais quand ce sont des groupes de sons, ces groupes sont annoncés à l'oeil par des traits secondaires qui en lient les divers sons, comme à une même souche d'où ils furent extraits.

Il faut conclure de là qu'on formerait facilement toutes les coupes du second ordre, en prenant deux par deux, ou trois par trois, de toutes les manières possibles les trois coupes simples 1, 12, 123 (que je désignerai pour un moment par a, b, c), et en recouvrant d'un grand trait ces divers assemblages, sans en exclure la répétition nécessaire de la même lettre.

On formera donc toutes les combinaisons binaires en écrivant chaque lettre à son tour à la suite de chacune des trois lettres a, b, c, ce qui donnera d'abord ces neuf combinaisons.

Comme toutes ces combinaisons, excepté la première, contiennent déjà un simple trait, il est clair qu'en les recouvrant chacune d'un trait supérieur, on aura fait des combinaisons à double trait, et qu'elles seront au nombre de 8 (nombre qui résulte de 3 f. 3, diminué de 1 f. 1). Ce qui est conforme à ce que nous savions d'avance.

Pour former les combinaisons ternaires, il ne faut qu'écrire à la suite des neuf précédentes, chacune à son tour des trois lettres a, b, c, ce qui donnera évidemment vingt-sept combinaisons qui toutes, à l'exception de la première, se trouveront être à double trait, dès qu'on les recouvrira chacune d'un trait nouveau, parce qu'elles en contiennent déjà un simple. Cela fera donc seulement vingt-six combinaisons à double trait dans la division ternaire (ce nombre résulte de 3 f. 3 f. 3, diminué de 1 f. 1 f. 1).

Ce qui est encore conforme à ce que nous con> naissions. Voici ces vingt-sept combinaisons:

aaa, baa caa aab, bab, cab aac, bac, cac aba, bba, cba abb, bbb, cbb\abc, bbc, cbc aca, bca, cca acb, bcb, ccb\acc, bcc, ccc

il n'y aurait plus qu'à rétablir, au lieu des lettres a, b, c, les coupes 1, 12, 123, dont elles tiennent lieu, pour voir dans ces tableaux les mêmes coupes à double trait qui ont déjà été détaillées.

Qu'il faille maintenant former les coupes du troisième ordre, il est clair qu'elles résultent de toutes celles des ordres antérieurs, qui sont au nombre de trente-sept, combinées deux par deux, ou trois par trois, selon les mêmes principes car, en effet, quelle que soit une coupe imaginée du troisième ordre, elle présente nécessairement, sous le grand trait, deux ou bien trois groupes, dont l'un au moins est à double trait, tandis que l'autre ou les deux autres sont ou peuvent être à simple trait et même sans trait. On pourrait donc, s'y prenant comme ci-dessus, désigner par trente-sept lettres ces coupes déjà obtenues, et former premièrement les combinaisons binaires, en écrivant chaque lettre à son tour à la suite de ces trente-sept

lettres, ce qui donnerait 37 f. 37, ou 1369 combinaisons; former ensuite les combinaisons ternaires, en écrivant à la suite de chacune des binaires chacune des trente-sept mêmes lettres, ce qui produirait 37 f. 37 f. 37, ou 50,653 combinaisons sur quoi l'on observe que les coupes génératrices 1 12 123, n'ayant au plus qu'un seul trait, ne formeraient, en se combinant entr'elles sans le concours des suivantes, que des coupes à double trait tout au plus, qu'il faudrait par conséquent exclure de celles du troisième ordre qu'on cherche à produire ce serait donc 3 f. 3 ou 9 à retrancher sur les 1,36ģ combinaisons binaires, et 3 f. 3 f. 3 ou 27 à retrancher sur les 50,653 combinaisons ternaires; moyennant quoi, il resterait 1,360 des unes, et 50,626 des autres, c'est-à-dire, exactement ce que nous avions trouvé d'une autre manière.

Mais voudrait-on exclure de ces combinaisons celles qui passent les douzièmes du temps? alors il faudrait préalablement exclure des trente-sept coupes génératrices celles qui pourraient amener ces fractions subalternes; ne prendre, par conséquent, pour former les combinaisons binaires, que dix-huit de ces coupes, qui sont celles où la division ne passe pas les